令和7年度 下期 理論 問17

正解の出典：同センターが公表している解答

解説

**(a) コンデンサAの電界**

コンデンサAは、厚さの違う3種類の誘電体を**重ねて**いる。極板の面積は同じで、電気力線がすべての層を貫くので、**電束密度Dはどの層でも同じ**になる。

D = εE の関係から E = D/ε。つまり**誘電率が小さい層ほど電界が強い**。 E_A1 = D/(2ε₀)、E_A2 = D/(3ε₀)、E_A3 = D/(6ε₀) よって E_A1 > E_A2 > E_A3。

最大値を出す。全体の電圧は各層の電圧の和なので V = E_A1(d/6) + E_A2(d/3) + E_A3(d/2) = (D/2ε₀)(d/6) + (D/3ε₀)(d/3) + (D/6ε₀)(d/2) = (Dd/ε₀)(1/12 + 1/9 + 1/12) = (Dd/ε₀)(10/36) = 5Dd/(18ε₀)

D = 18ε₀V/(5d) を戻すと E_A1 = D/(2ε₀) = **9V/(5d)**

正解は(5)。

**(b) BとAのエネルギー比**

電圧が同じなので、蓄積エネルギー W = CV²/2 の比は**静電容量の比**そのもの。

コンデンサA（3つが直列） C₁ = 2ε₀S/(d/6) = 12ε₀S/d、C₂ = 3ε₀S/(d/3) = 9ε₀S/d、C₃ = 6ε₀S/(d/2) = 12ε₀S/d 1/C_A = (1/12 + 1/9 + 1/12)(d/ε₀S) = (10/36)(d/ε₀S) C_A = 3.6 ε₀S/d

コンデンサB（3つが並列。厚さはどれもd、面積が違う） C₁ = 2ε₀(S/6)/d = 0.333 ε₀S/d、C₂ = 3ε₀(S/3)/d = 1.0 ε₀S/d、C₃ = 6ε₀(S/2)/d = 3.0 ε₀S/d C_B = 0.333 + 1.0 + 3.0 = 4.333 ε₀S/d

比 = 4.333 / 3.6 ≈ **1.20 倍**

正解は(4)。

迷いどころは「重ねたら直列、横に並べたら並列」の判断。電気力線の向き（極板から極板へ）に対して層が重なっているか並んでいるかで決まる。